python如何实现梯度下降求解逻辑回归

百变鹏仔 1周前 (01-27) #Python

文章标签梯度

线性回归

1.线性回归函数

似然函数的定义：给定联合样本值X下关于(未知)参数的函数

似然函数：什么样的参数跟我们的数据组合后恰好是真实值

2.线性回归似然函数

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对数似然：

3.线性回归目标函数

（误差的表达式，我们的目的就是使得真实值与预测值之前的误差最小）

（导数为0取得极值，得到函数的参数）

逻辑回归

逻辑回归是在线性回归的结果外加一层Sigmoid函数

1.逻辑回归函数

2.逻辑回归似然函数

前提数据服从伯努利分布

对数似然：

引入转变为梯度下降任务，逻辑回归目标函数

梯度下降法求解

我的理解就是求导更新参数，达到一定条件后停止，得到近似最优解

代码实现

Sigmoid函数

def sigmoid(z):       return 1 / (1 + np.exp(-z))

预测函数

def model(X, theta):        return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

目标函数

def cost(X, y, theta):         left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))         right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))         return np.sum(left - right) / (len(X))

梯度

def gradient(X, y, theta):      grad = np.zeros(theta.shape)      error = (model(X, theta)- y).ravel()      for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter             term = np.multiply(error, X[:,j])             grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)       return grad

梯度下降停止策略

STOP_ITER = 0STOP_COST = 1STOP_GRAD = 2 def stopCriterion(type, value, threshold):    # 设定三种不同的停止策略    if type == STOP_ITER:  # 设定迭代次数        return value &gt; threshold    elif type == STOP_COST:  # 根据损失值停止        return abs(value[-1] - value[-2]) <p>样本重新洗牌</p><pre class="brush:py;">import numpy.random#洗牌def shuffleData(data):    np.random.shuffle(data)    cols = data.shape[1]    X = data[:, 0:cols-1]    y = data[:, cols-1:]    return X, y

梯度下降求解

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):    # 梯度下降求解     init_time = time.time()    i = 0  # 迭代次数    k = 0  # batch    X, y = shuffleData(data)    grad = np.zeros(theta.shape)  # 计算的梯度    costs = [cost(X, y, theta)]  # 损失值     while True:        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)        k += batchSize  # 取batch数量个数据        if k &gt;= n:            k = 0            X, y = shuffleData(data)  # 重新洗牌        theta = theta - alpha * grad  # 参数更新        costs.append(cost(X, y, theta))  # 计算新的损失        i += 1         if stopType == STOP_ITER:            value = i        elif stopType == STOP_COST:            value = costs        elif stopType == STOP_GRAD:            value = grad        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break     return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time

完整代码

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport osimport numpy.randomimport time  def sigmoid(z):    return 1 / (1 + np.exp(-z))  def model(X, theta):    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))  def cost(X, y, theta):    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))    return np.sum(left - right) / (len(X))  def gradient(X, y, theta):    grad = np.zeros(theta.shape)    error = (model(X, theta) - y).ravel()    for j in range(len(theta.ravel())):  # for each parmeter        term = np.multiply(error, X[:, j])        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)    return grad  STOP_ITER = 0STOP_COST = 1STOP_GRAD = 2  def stopCriterion(type, value, threshold):    # 设定三种不同的停止策略    if type == STOP_ITER:  # 设定迭代次数        return value &gt; threshold    elif type == STOP_COST:  # 根据损失值停止        return abs(value[-1] - value[-2]) = n:            k = 0            X, y = shuffleData(data)  # 重新洗牌        theta = theta - alpha * grad  # 参数更新        costs.append(cost(X, y, theta))  # 计算新的损失        i += 1         if stopType == STOP_ITER:            value = i        elif stopType == STOP_COST:            value = costs        elif stopType == STOP_GRAD:            value = grad        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break     return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time  def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):    # import pdb    # pdb.set_trace()    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)    name = "Original" if (data[:, 1] &gt; 2).sum() &gt; 1 else "Scaled"    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)    if batchSize == n:        strDescType = "Gradient"  # 批量梯度下降    elif batchSize == 1:        strDescType = "Stochastic"  # 随机梯度下降    else:        strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)  # 小批量梯度下降    name += strDescType + " descent - Stop: "    if stopType == STOP_ITER:        strStop = "{} iterations".format(thresh)    elif stopType == STOP_COST:        strStop = "costs change = 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]  # 计算精度scaled_X = scaled_data[:, :3]y = scaled_data[:, 3]predictions = predict(scaled_X, theta)correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

逻辑回归的优缺点

优点

形式简单，模型的可解释性非常好。从特征的权重可以看到不同的特征对最后结果的影响，某个特征的权重值比较高，那么这个特征最后对结果的影响会比较大。
模型效果不错。在工程上是可以接受的（作为baseline)，如果特征工程做的好，效果不会太差，并且特征工程可以大家并行开发，大大加快开发的速度。
训练速度较快。分类的时候，计算量仅仅只和特征的数目相关。并且逻辑回归的分布式优化sgd发展比较成熟，训练的速度可以通过堆机器进一步提高，这样我们可以在短时间内迭代好几个版本的模型。
资源占用小,尤其是内存。因为只需要存储各个维度的特征值。
方便输出结果调整。逻辑回归可以很方便的得到最后的分类结果，因为输出的是每个样本的概率分数，我们可以很容易的对这些概率分数进行cutoff，也就是划分阈值(大于某个阈值的是一类，小于某个阈值的是一类)。

缺点

准确率并不是很高。因为形式非常的简单(非常类似线性模型)，很难去拟合数据的真实分布。
很难处理数据不平衡的问题。举个例子：如果我们对于一个正负样本非常不平衡的问题比如正负样本比 10000:1.我们把所有样本都预测为正也能使损失函数的值比较小。但是作为一个分类器，它对正负样本的区分能力不会很好。
处理非线性数据较麻烦。逻辑回归在不引入其他方法的情况下，只能处理线性可分的数据，或者进一步说，处理二分类的问题。
逻辑回归本身无法筛选特征。有时候，我们会用gbdt来筛选特征，然后再上逻辑回归。

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